Sección 4: La Ecuación Diferencial de Cauchy-Euler

La ecuación diferencial de Cauchy-Euler, también conocida como ecuación diferencial de forma equidimensional o ecuación diferencial de coeficientes constantes no homogénea, es una ecuación diferencial lineal de segundo orden que tiene la siguiente forma general:

$�{�}^2{�}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+��{�}^{\mathrm{\prime }}+��=�(�)$

donde $�$, $�$, $�$ son constantes (pueden ser reales o complejas), $�(�)$ es una función dada y $�(�)$ es la función incógnita.

Esta ecuación recibe el nombre de Cauchy-Euler debido a los matemáticos Augustin-Louis Cauchy y Leonhard Euler, quienes hicieron contribuciones significativas al estudio de este tipo de ecuaciones.

Leonhard Euler

 Louis Cauchy

Características y Solución:

1. Coeficientes Variables: La característica distintiva de la ecuación de Cauchy-Euler es que los coeficientes de las derivadas de $�$ están multiplicados por potencias de $�$.

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3. Sustitución: Para resolver una ecuación de Cauchy-Euler, se suele hacer la sustitución $�={�}^{�}$, donde $�$ es una constante a determinar.

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5. Ecuación Característica: Al sustituir $�={�}^{�}$ en la ecuación diferencial, se obtiene una ecuación algebraica llamada ecuación característica. Esta ecuación proporciona los valores posibles de $�$ que hacen que la sustitución sea válida.

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7. Solución General: La solución general de una ecuación de Cauchy-Euler dependerá de la naturaleza de las raíces de la ecuación característica.

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   • *Si las raíces son reales y distintas (${�}_1$ y ${�}_2$), entonces la solución general será de la forma $�(�)={�}_1{�}^{{�}_1}+{�}_2{�}^{{�}_2}$, donde ${�}_1$ y ${�}_2$ son constantes determinadas por las condiciones iniciales o de contorno.
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   • *Si las raíces son reales y repetidas, la solución general contendrá términos adicionales de la forma $\ln (�)$.
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   • *Si las raíces son complejas conjugadas, la solución general contendrá términos trigonométricos (senos y cosenos) o exponenciales complejos.

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9. Ejemplos de Aplicación: Las ecuaciones de Cauchy-Euler son comunes en problemas de física y ingeniería que involucran fenómenos de rotación, vibración, distribución de carga, entre otros.