Sección 1: “Teoría Preliminar”
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- Definición de ecuación diferencial de orden n:Una ecuación diferencial de orden n es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas hasta el n-ésimo orden. Por ejemplo, una ecuación diferencial de segundo orden tiene la forma F(x,y,y´,y´´)=0 donde y es la función desconocida, y es su primera derivada con respecto ax, y ,y´ es su segunda derivada con respecto ax.
- Problemas de valor inicial:
Los problemas de valor inicial son un tipo de problema de valor en el que se busca encontrar una solución a una ecuación diferencial que satisface ciertas condiciones iniciales. Estas condiciones generalmente consisten en especificar los valores de la función desconocida y sus derivadas en un punto inicial dado.
- Teorema de existencia y unicidad:
El teorema de existencia y unicidad establece condiciones bajo las cuales una ecuación diferencial tiene solución única. En términos generales, si una ecuación diferencial está bien definida y las condiciones iniciales son adecuadas, entonces existe una única solución que satisface esas condiciones.
- Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas:
Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son ecuaciones diferenciales en las que la función desconocida y todas sus derivadas aparecen linealmente, y la parte no homogénea de la ecuación es igual a cero.
- Dependencia e independencia lineal. Wronskiano:La dependencia e independencia lineal de un conjunto de funciones se refiere a si estas funciones pueden formar una combinación lineal para igualar cero. El Wronskiano es una herramienta utilizada para determinar la independencia lineal de un conjunto de funciones.
- Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas:
La solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea es la solución que contiene todas las soluciones posibles de la ecuación. Se encuentra a través de métodos como el método de reducción de orden o mediante el uso de funciones exponenciales, trigonométricas o polinomiales dependiendo de la naturaleza de la ecuación.
Reducción de orden:
La reducción de orden es un método utilizado para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior al convertirlas en sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Este método puede simplificar la resolución de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales.
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