Sección 2: Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes

 

En el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes, la ecuación característica es una ecuación algebraica que se obtiene al sustituir las derivadas de la función desconocida en la ecuación diferencial por potencias de la variable independiente. Para una ecuación diferencial lineal de orden

$�$$�$

1. Obtención de la ecuación característica:

Cuando se tiene una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes, por ejemplo:

donde ${�}^{(�)}$ representa la $�$-ésima derivada de $�$, se sustituyen las derivadas por potencias de la variable independiente. Esto lleva a una ecuación algebraica llamada ecuación característica.

1. Obtención de la ecuación característica:

Cuando se tiene una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes, por ejemplo:

${�}_{�}{�}^{(�)}+{�}_{�-1}{�}^{(�-1)}+\dots +{�}_1{�}^{\mathrm{\prime }}+{�}_0�=0$

donde ${�}^{(�)}$ representa la $�$-ésima derivada de $�$, se sustituyen las derivadas por potencias de la variable independiente. Esto lleva a una ecuación algebraica llamada ecuación característica.

2. Interpretación de las raíces de la ecuación característica:

Las raíces de la ecuación característica son fundamentales para determinar la forma de la solución general de la ecuación diferencial. Dependiendo de la naturaleza de estas raíces, la solución general tendrá diferentes formas. Las raíces pueden ser:

• *Reales y distintas.
• *Reales y repetidas.
• *Complejas conjugadas.

3. Solución en términos de las raíces de la ecuación característica:

• *Raíces reales y distintas: La solución general tendrá la forma de una combinación lineal de términos exponenciales.
• *Raíces reales y repetidas: La solución general tendrá términos exponenciales multiplicados por polinomios de grado menor o igual al grado de repetición de la raíz.
• *Raíces complejas conjugadas: La solución general tendrá términos exponenciales multiplicados por funciones trigonométricas.

4. Importancia en la teoría y aplicaciones:

La ecuación característica es esencial en el análisis y la resolución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Su comprensión y manejo adecuado son fundamentales en diversos campos de la física, la ingeniería y las matemáticas aplicadas, ya que muchas leyes naturales y fenómenos pueden modelarse utilizando ecuaciones diferenciales de este tipo.